[AI数理]対数関数の微分法・前編

おはようございます！(株) Qualiteg 研究部です。

本日から２回にわたって対数関数について学んでいきましょう。
正確にいうと、対数関数の微分法を学びます。

対数関数って何だっけ？

まず、対数関数というのは、「ある数 \( x \) が別の数 \( b \) を何回かけると \( x \) になるか」を調べる方法です。例えば、\( b \) が 2 で \( x \) が 8 の場合、2 を 3 回かけると 8 になります。この場合、数学的には「\( b \) の \( x \) に対する対数」と言います。

これを数式で表すと、次のようになります：

$$
\log_b(x) = y
$$

ここで \( b \) は底（てい）、\( x \) は真数、\( y \) は \( b \) を何回かけたら \( x \) になるかを表す数です。例えば、\( b = 2 \) と \( x = 8 \) の場合、\( y = 3 \) となります。なぜなら、2 を 3 回かけると 8 になるからです。

$$
\log_2(8) = 3
$$

対数関数は「逆」の関数と考えることもできます。つまり、乗算（かけ算）の逆が除算（わり算）であるように、累乗（たとえば 2 の 3 乗は 8）の逆が対数関数です。

なぜ対数関数は重要か？

まず、「なぜ、対数関数を学ぶ必要があるか」を説明します。

対数関数は、機械学習の分類問題での代表的な損失関数である 交差エントロピー関数の式に登場します。

多値分類用の交差エントロピー関数

$$
\ - \frac{1}{N} \sum_{i}^{N} \sum_{k}^{K} t_{ik} \log y_{ik} \tag{1}
$$

二値分類用の交差エントロピー関数

$$
\ - \frac{1}{N} \sum_{i}^{N} \lbrack t_{i} \log y_{i} + (1- t_{i}) \log (1- y_{i}) \rbrack \tag{2}
$$

ニューラルネットワークの学習では損失関数を最小化するように学習していきますが、損失関数が小さくなる方向（勾配）を求めるため損失関数の微分を求めます。

このように交差エントロピー関数は対数関数を含む関数となっているため、対数関数の微分が必要になります。

本シリーズは、 対数関数の微分法 をマスターすることが目的です。対数関数の微分を理解するために、まず対数関数の基礎をマスターし、それを使って対数関数の微分を学習していきます。

1. 対数関数 \(log\) とは

さて、再度、こんどは数式ベースで対数関数について説明いたしますね。

$$
y = \log_a x
$$

\(a\) を何乗すると \(x\) になるか を求めるのが 対数「 \(\log\) 」です。これを \(a\) を底とする対数関数といいます。

\(y=\log_a x\) のとき \(a^{y} = x\) となります。

また \(y=\log_a x\) は \(y=a^{x}\) の逆関数となります。

例

\(y=\log_2 x\) で \(x=8\) とすると、 \(y=\log_2 8\) ・・・ \(2\) を何乗すると \(8\) になるかを求めることになるので、答えは \(y=3\) となります。

いかがでしたでしょうか。

思い出してみると（または、今学んでみた感想として）案外とっつきやすやすくないでしょうか。

それでは、また次回お会いしましょう！

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